Analyse vectorielle : Addition de vecteurs

On ne peut pas additionner des vecteurs comme on additionne des quantités scalaires puisqu'il faut à la fois tenir compte de la grandeur des vecteurs et de leur orientation. Il existe plus d'une façon de procéder.

Méthode graphique

Pour comprendre comment s'y prendre, rien de mieux qu'un exemple. Dans cet exemple, nous devons additionner les trois vecteurs illustrés ci-dessous.

Les trois vecteurs à additionner

Pour effectuer graphiquement l'addition de ces vecteurs, il faut les placer « à la queue leu leu ». Le vecteur résultant a son origine qui coïncide avec celui du premier vecteur et son extrémité qui coïncide avec l'extrémité du dernier vecteur.

Le résultat de l'addition

Il est aussi possible de soustraire graphiquement des vecteurs. Voici un second exemple dans lequel nous devons soustraire le vecteur du vecteur .

Les deux vecteurs à soustraire

Pour ce faire, nous inversons le sens du vecteur afin d'obtenir le vecteur .

Inversion du vecteur à soustraire

Nous additionnons ensuite ce vecteur au vecteur , puisque .

Le résultat de la soustraction

Addition de vecteurs en notation polaire

L'addition de deux vecteurs en notation polaire peut se faire de manière graphique. Dans l'exemple qui suit, nous effectuerons l'addition des deux vecteurs suivants :

Addition des vecteurs

Pour déterminer la norme et l'orientation du vecteur résultant, il nous faut appliquer les lois des cosinus et des sinus.

Dans le cas qui nous concerne on a :

Pour pouvoir appliquer la loi des cosinus, il nous faut d'abord trouver l'angle c. L'angle θ_A est rapporté à l'autre extrémité du vecteur parce que ce dernier forme des angles alternes-internes égaux avec les deux droites parallèles horizontales.

Norme du vecteur résultant

Orientation du vecteur résultant

Cet angle n'est pas l'orientation du vecteur , mais plutôt l'angle que celui-ci forme avec le vecteur . Pour obtenir l'orientation θ_C, on doit donc effectuer le calcul suivant.

Cette méthode est facilement applicable à l'addition de seulement deux vecteurs. La tâche devient plus ardue dès qu'il faut additionner plus de deux vecteurs. Il faudrait en effet effectuer l'addition des deux premiers vecteurs, pour ensuite additionner le vecteur résultant au troisième vecteur, etc. Il nous faut donc une autre méthode.

Addition de vecteurs en notation cartésienne

Cette autre méthode, plus puissante, permet d'additionner un grand nombre de vecteurs à partir de leurs composantes. Voici un exemple qui permettra de mieux comprendre cette méthode. Prenons trois vecteurs, que nous additionnerons graphiquement afin d'obtenir le vecteur résultant en oranger.

Addition de trois vecteurs

Il nous est possible de représenter les composantes en x et en y de chacun des vecteurs additionnés.

Les vecteurs additionnés et leurs composantes

Par translation, nous pouvons mettre sur une même ligne horizontale toutes les composantes en x et sur une même ligne verticale toutes les composantes en y.

Translation des composantes

Somme des composantes x et y

Comme le montre la dernière figure, la somme des composantes en x des vecteurs correspond à la composante en x du vecteur résultant. Le même raisonnement s'applique à la composante en y. Nous pouvons donc écrire :

Afin d'additionner des vecteurs en notation cartésienne, il suffit d'additionner algébriquement les composantes en x de tous les vecteurs et les composantes en y de tous les vecteurs. Les résultats ainsi obtenus sont respectivement les composantes en x et en y du vecteur résultant.

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