Analyse vectorielle : Quelques notions de vecteur
Un vecteur est une quantité orientée définie par une grandeur (ou norme) et une orientation. Nous ne traiterons ici que des vecteurs à deux dimensions. Graphiquement, on représente un vecteur par un segment de droite orienté (une flèche). Mathématiquement, on représente un vecteur par une variable surmontée d'une flèche (ex. : le vecteur position est identifié 
). Il existe deux façons d'écrire un vecteur : la notation polaire et la notation cartésienne. Ces deux notations sont équivalentes.
Un vecteur
Notation polaire
Dans la notation polaire, un vecteur est identifié par sa norme et son orientation. La norme du vecteur est sa longueur. C'est donc une quantité scalaire positive qui porte l'unité de mesure appropriée à la grandeur représentée (ex. : le vecteur déplacement a une longueur de 2 m). L'orientation d'un vecteur est un angle mesuré, en degrés, dans le sens antihoraire à partir de l'axe horizontal x positif (axe étant orienté de gauche à droite).
Considérons le vecteur 
illustré ci-dessous. Ce vecteur est défini par une norme a (
) et une orientation θ.
Si a = 2 m et θ = 30°, on écrit le vecteur comme suit :
En géographie, on utilise souvent une convention où des points cardinaux correspondent à des angles :
- Est = 0°
- Nord-Est = 45°
- Nord = 90°
- ainsi de suite...
Cette convention semble simple à utiliser, mais en réalité elle contient un piège si on ne connaît pas vraiment son fonctionnement. Si on te demande de tracer un angle à 40 degrés nord-ouest, pour tracer ton angle de 40 degrés, est-ce que tu pars du nord ou de l'ouest? Pour répondre à cette question, il faut savoir qu'en réalité Nord-Ouest signifie : « au nord de l'ouest ». Pour tracer notre angle, l'ouest est donc notre point de départ et on le trace vers le nord.
Une autre convention utilisant les points cardinaux existe. Cette convention est moins utilisée, mais elle a l'avantage d'être plus intuitive que la méthode précédente. Dans cette méthode on doit écrire en premier le point de départ du tracé de notre angle, puis l'angle et finalement la direction vers laquelle tracer cet angle. Par exemple, N 60° O, signifie qu'à partir du nord, il faut tracer un angle de 60° vers l'ouest.
Notation cartésienne
Dans la notation cartésienne, un vecteur est identifié par deux longueurs (composantes) mesurées perpendiculairement l'une à l'autre. Généralement, ces longueurs sont les projections orthogonales du vecteur sur les axes x et y d'un plan cartésien.
Considérons le vecteur 
illustré ci-dessous. Ce vecteur est défini par les composantes bx et by.
Si bx = 1 m et by = 2 m, on écrit le vecteur comme suit :
Équivalences entre les deux notations
Puisque les deux notations vectorielles expliquées ci-dessus sont équivalentes, il doit être possible de passer d'une à l'autre. Il suffit d'un peu de géométrie. Considérons le vecteur 
. En notation polaire, ce vecteur est identifié ainsi :
En notation cartésienne, il est plutôt identifié comme suit :
Pour passer de la notation polaire à la notation cartésienne, il faut trouver la longueur des projections du vecteur sur les axes x et y à partir de sa norme r et de son orientation θ. Pour ce faire, on doit appliquer les relations trigonométriques pour trouver :
et 
Soit le vecteur et ses composantes orthogonales rx et ry, le vecteur formant un angle θ avec la composante en x. Le vecteur et ses composantes forment un triangle rectangle de côtés r (la longueur du vecteur), rx et ry.
On applique les relations trigonométriques cosinus et sinus à ce triangle pour trouver :
En isolant les composantes rx et ry dans ces relations, on retrouve les expressions recherchées.
Inversement, pour passer de la notation cartésienne à la notation polaire, on doit appliquer la règle de Pythagore et les relations trigonométriques pour déterminer la norme du vecteur et l'angle qu'il forme avec l'axe des x.
Soit le vecteur et ses composantes orthogonales rx et ry, le vecteur formant un angle θ avec la composante en x. Le vecteur et ses composantes forment un triangle rectangle de côtés r (la longueur du vecteur), rx et ry.
On applique d'abord la règle de Pythagore à ce triangle pour trouver :
En isolant r dans cette relation, on trouve l'expression recherchée.
On applique ensuite la relation trigonométrique tangente à ce triangle pour trouver :
En isolant l'angle θ dans cette relation, on retrouve l'expression recherchée.
À partir de l'angle θ, il est possible de déterminer l'orientation du vecteur. Pour ce faire, il faudra apporter une petite correction à l'angle selon le quadrant du plan cartésien dans lequel nous obtenons le vecteur résultant. En effet, le vecteur résultant et ses composantes peuvent former quatre triangles rectangles différents, selon le quadrant dans lequel il se trouve :
Un vecteur et ses composantes peuvent former quatre triangles différents, selon le quadrant du plan cartésien dans lequel le vecteur se trouve.
Il est facile de déterminer dans quel quadrant se situe le vecteur par les signes de ses composantes. Une fois le quadrant identifié, il est possible d'additionner ou de soustraire une valeur à l'angle obtenu afin d'obtenir l'orientation du vecteur par rapport à l'horizontale.
| Quadrant |
Signe de la composante en x |
Signe de la composante en y |
Orientation du vecteur par rapport à l'horizontale |
| 1 | + | + | θ |
| 2 | - | + | θ + 180° |
| 3 | - | - | θ + 180° |
| 4 | + | - | θ + 360° |
Exemple 1 : Un mobile a effectué un déplacement de 3 m selon une orientation de 100°. Quelles sont les composantes cartésiennes du vecteur déplacement?
Composante en x
Composante en y
On peut retrouver, à partir de ces composantes cartésiennes, les composantes polaires de départ.
Norme
Orientation
Puisque le vecteur se situe dans le deuxième quadrant, on doit additionner 180° à l'angle calculé pour obtenir l'orientation du vecteur. Cette orientation est donc de 100°.
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