La balistique : introduction à la cinématique à deux dimensions

Les mouvements étudiés jusqu'ici étaient des mouvements rectilignes unidimensionnels. Bien que l'étude de ces mouvements soit essentielle, elle ne nous donne aucun outil pour étudier plusieurs mouvements dont nous sommes pourtant témoins. L'un de ces mouvements est celui d'un projectile. En effet, lorsqu'on lance un projectile, une balle par exemple, celui-ci effectue à la fois un mouvement vertical et un mouvement horizontal. Son mouvement est donc bidimensionnel.

Mouvement d'un projectile

Afin d'être en mesure d'étudier un mouvement bidimensionnel, il faut décomposer ce dernier en deux composantes orthogonales et indépendantes. Dans le cas d'un projectile, on utilise généralement un axe horizontal et un axe vertical. La décomposition du mouvement selon ces composantes n'est pas seulement intuitive, elle permet aussi d'en simplifier l'étude.

Décomposition d'un vecteur vitesse en ses composantes orthogonales

On note aussi que les deux composantes de la vitesse sont indépendantes l'une de l'autre, on peut donc les traiter séparément. Enfin, tout le traitement qui suit ne tient pas compte de la résistance de l'air. La seule force s'exerçant sur le projectile pendant son « vol » est la force gravitationnelle.

Composante horizontale du mouvement

La composante horizontale du mouvement d'un projectile prend la forme d'un MRU de vitesse v_i,x. On peut donc étudier cette composante simplement avec la relation du MRU.

Puisque le mouvement horizontal est un MRU, la vitesse horizontale initiale du mobile est conservée.

Composante verticale du mouvement

La composante verticale du mouvement d'un projectile prend la forme d'un MRUA. Le mouvement vertical d'un projectile est en fait un mouvement de chute libre. Il est donc régi par les relations suivantes.

Au même moment, on laisse tomber la balle rouge verticalement et on propulse horizontalement la balle jaune. On photographie ensuite la chute des deux balles à des intervalles de temps égaux. On remarque que la balle jaune se trouve à la même hauteur que la balle rouge au même instant. La composante verticale de son mouvement est donc identique à une chute libre.

Combinaison des deux mouvements

En traçant la position d'un projectile dans le temps sur un plan xy, on s'aperçoit que la trajectoire d'un projectile prend la forme d'une parabole (ou d'une portion de parabole). D'ailleurs, en combinant les relations de Δx et de Δy, on obtient l'expression suivante

Le mouvement d'un projectile est « symétrique » par rapport au point le plus haut de sa trajectoire. À l'instant 3, qui correspond à une même hauteur qu'à l'instant 1, la grandeur de la vitesse du projectile est la même qu'à l'instant 1. À l'instant 2, moment où le projectile atteint son point le plus haut, la composante verticale de sa vitesse est nulle. Sa vitesse est alors égale à sa vitesse horizontale initiale.

Nous étudierons dans ce qui suit deux cas spéciaux.

1^er cas : projectile lancé à partir du sol

Dans ce cas, le projectile est lancé à partir du sol et retombe au sol. Donc, Δy = 0 m. On peut obtenir deux données importantes en étudiant les relations ci-dessus.

On peut d'abord trouver la portée du projectile, c'est-à-dire la distance horizontale qu'il parcourt avant de toucher le sol.

En traçant la courbe de la portée en fonction de l'angle de projection (on note que θi est compris entre 0° et 90°), on remarque qu'il est possible d'atteindre la même portée avec deux angles de projection différents. Cependant, il n'y a qu'un angle possible pour obtenir la portée maximale pour une vitesse initiale donnée, 45°.

On peut aussi trouver le temps de vol du projectile.

Un dernier paramètre de la trajectoire d'un projectile est la flèche, c'est-à-dire la hauteur maximale qu'il atteint. Puisque la trajectoire d'un projectile est symétrique par rapport au point le plus élevé, la flèche est atteinte lorsque la distance horizontale parcourue correspond à la moitié de la portée du projectile.

2^e cas : projectile lancé horizontalement

Dans ce cas, le projectile est lancé à partir d'un endroit surélevé par rapport à son point de chute. Puisque θi = 0°, la vitesse initiale est purement horizontale (v_i = v_i,x et v_i,y = 0 m/s). Dans ces conditions, on trouve l'expression suivante pour la portée du projectile.

Cette expression est possible, car Δy < 0, donc le contenu du radical est positif. On trouve aussi l'expression suivante pour le temps de vol du projectile.

Le mouvement rectiligne uniforme
Le mouvement rectiligne uniformément accéléré
Objectif terminal 3.3