Analyse graphique du mouvement rectiligne

Pour étudier un mouvement rectiligne, nous avons généralement besoin de trois graphiques différents, soit la position du mobile en fonction du temps, la vitesse du mobile en fonction du temps, et son accélération en fonction du temps. Cependant, il est possible, à partir d'un seul de ces graphiques, de déduire la forme des deux autres. Voici quels renseignements on peut tirer à partir des trois types de graphiques possibles.

Graphique de la position en fonction du temps

Le graphique de la position en fonction du temps, pour les types de mouvements qu'on étudie ici, peut prendre trois formes : une droite horizontale, une droite inclinée ou une portion de parabole.

Droite horizontale : immobilité

Dans ce cas, la position ne varie pas, il n'y a donc pas de mouvement. La vitesse et l'accélération du mobile sont nulles.


Cas 1 : immobilité

Droite inclinée : MRU

La position du mobile varie dans le temps de façon linéaire, la distance parcourue à chaque intervalle de temps est toujours la même. La vitesse du mobile est donc constante et son accélération, nulle. Le mobile est en MRU.

La pente de la droite nous donne alors la vitesse du mobile. Si le taux de variation de la droite est positive (la position augmente dans le temps), la vitesse du mobile est positive.


Cas 2 : MRU à vitesse positive

Si la pente de la droite est plutôt négative, la vitesse du mobile est aussi négative.


Cas 3 : MRU à vitesse négative

Portion de parabole : MRUA

Dans ce cas, le taux de variation du graphique position en fonction du temps n'est plus constant, tout comme la vitesse. Le mobile est alors en MRUA. On distingue ici quatre cas, pour lesquels soit la vitesse initiale, soit la vitesse finale est nulle. Il n'y a pas non plus de changement de direction en cours de mouvement (la vitesse ne change pas de signe).

Dans le premier cas, la courbure de la parabole est vers le haut et son taux de variation est positif. Parce que le taux de variation de la courbe est positif, la vitesse du mobile est elle aussi positive. De plus, puisque la courbure de la parabole est vers le haut, la distance parcourue à chaque intervalle de temps augmente. Cela signifie que la vitesse du mobile augmente. Son accélération est donc positive.


Cas 4 : MRUA à vitesse et à accélération positives

Dans le second cas, la courbure de la parabole est toujours vers le haut, mais son taux de variation est négatif. La vitesse du mobile est donc négative puisque la pente de la courbe l'est aussi. Aussi, puisque la courbure est vers le haut, la distance parcourue à chaque intervalle de temps est de plus en plus petite. La vitesse du mobile diminue donc, en valeur absolue, ce qui signifie que l'accélération est de signe opposé à la vitesse. L'accélération du mobile est donc positive. Ainsi, si le graphique de la position en fonction du temps est courbé vers le haut, l'accélération du mobile est positive (la position présente un minimum).


Cas 5 : MRUA à vitesse négative et à accélération positive

Dans les troisième et quatrième cas, la courbure du graphique est vers le bas. L'accélération est alors négative. Les deux cas se distinguent par le signe du taux de variation de la courbe. Ainsi, si le graphique de la position en fonction du temps est courbé vers le bas et que son taux de variation est positif, nous avons un cas où la vitesse est positive et l'accélération est négative. La grandeur de la vitesse diminue donc puisque l'accélération et la vitesse ne sont pas de même signe.


Cas 6 : MRUA à vitesse positive et à accélération négative

Pour le dernier cas, le graphique est encore courbé vers le haut, mais le taux de variation de la courbe est négatif. La vitesse du mobile et son accélération sont donc toutes deux négatives.


Cas 7 : MRUA à vitesse et à accélération négatives

Dans ces quatre derniers cas, on doit tracer la droite tangente à la courbe position en fonction du temps et en calculer la pente afin de déterminer la vitesse instantanée du mobile à un instant donné. Ainsi, à chaque point de la courbe correspond une vitesse différente.

Graphique de la vitesse en fonction du temps

Le graphique de la vitesse en fonction du temps, pour les types de mouvements qu'on étudie ici, peut prendre deux formes : une droite horizontale ou une droite inclinée. Dans cette section et dans la suivante, nous ne reprendrons pas les graphiques de la section précédente, mais y ferons référence.

Peu importe le cas considéré, pour pouvoir tracer le graphique de la position en fonction du temps à partir des informations tirées du graphique de la vitesse en fonction du temps, on doit connaître la position du mobile à un instant déterminé. Le graphique de la vitesse en fonction du temps nous permet uniquement de déduire le déplacement effectué en calculant l'aire comprise entre la droite et l'axe du temps sur un intervalle de temps donné. On peut aussi déterminer l'accélération du mobile en calculant le taux de variation de sa vitesse.

Droite horizontale : immobilité ou MRU

Le graphique de la vitesse en fonction du temps prend la forme d'une droite horizontale dans les cas 1, 2 et 3 ci-dessus. Dans ces trois cas, la vitesse est constante. Dans le cas 1, elle est même nulle. Il y a alors immobilité, la position est constante. Dans les deux autres cas, la vitesse est soit positive, soit négative, mais toujours constante. La position varie alors linéairement dans le temps. Le mobile est alors en MRU. Dans ces trois cas, l'accélération est nulle parce que le taux de variation du graphique de la vitesse en fonction du temps est aussi nul.

Droite inclinée : MRUA

Lorsque le graphique de v en fonction de t prend la forme d'une droite inclinée (cas 4 à 7), on en déduit que la vitesse n'est pas constante. L'accélération est alors non nulle. De plus, comme la vitesse varie d'une même quantité à chaque intervalle de temps, on en comprend que l'accélération est constante. Si la pente de la vitesse en fonction du temps est positive, l'accélération est elle aussi positive, si la pente est plutôt négative, l'accélération sera aussi négative. En fait, l'accélération du mobile correspond au taux de variation de la droite. Le graphique de la position en fonction du temps prend dans tous ces cas une forme parabolique. Le sens de courbure de la parabole est déterminé par le signe du taux de variation de la vitesse (de l'accélération).

Graphique de l'accélération en fonction du temps

Le graphique de l'accélération en fonction du temps, pour les types de mouvements qu'on étudie ici, peut prendre une seule forme : une droite horizontale. L'accélération est donc toujours constante. Elle peut cependant prendre différentes valeurs. Afin de retracer les graphiques de la vitesse et de la position en fonction du temps, on doit maintenant connaître la position et la vitesse instantanée du mobile à un instant donné.

Si l'accélération est nulle, la vitesse du mobile est constante. Pour savoir si la position est constante ou non, nous devons d'abord connaître la vitesse du mobile. Si la vitesse est elle aussi nulle, la position de mobile ne varie pas. Il y a donc immobilité. Dans le cas contraire, la position du mobile varie linéairement dans le temps.

Si l'accélération n'est pas nulle, le mobile est en MRUA. Sa vitesse n'est donc pas constante. Pour connaître la variation de vitesse sur un intervalle de temps, on doit calculer l'aire comprise entre la droite de l'accélération en fonction du temps et l'axe du temps.

Un exemple

Dans ce qui suit, nous analyserons le mouvement rectiligne d'un mobile. Nous verrons mieux ainsi comment les trois paramètres du mouvement sont liés.


Graphiques décrivant la position, la vitesse et l'accélération d'une automobile en fonction du temps.

Le mouvement illustré par les graphiques ci-dessus peut être divisé en huit segments. Les coupures entres ses segments correspondent aux changements d'accélération du mobile. Dans chacun des segments, cependant, l'accélération est constante. Nous allons étudier le mouvement de l'automobile segment par segment.

Segment 1

Le graphique de la position en fonction du temps prend pour ce segment la forme d'une portion de parabole courbée vers le haut. Cette forme signifie que l'automobile parcourt une distance de plus en plus grande à chaque intervalle de temps. Sa vitesse n'est donc pas constante, l'automobile accélère. De plus, puisque la position de l'automobile augmente, on peut en déduire que sa vitesse est positive. C'est ce qu'on constate d'ailleurs sur le graphique de la vitesse en fonction du temps, la vitesse est positive et augmente. Comme la vitesse augmente, on peut en déduire que l'accélération est positive elle aussi, ce qui est confirmé par le graphique de l'accélération. Pour le segment 1, l'accélération de l'automobile est constante à 1 m/s2.

Segment 2

Pour ce segment, la position varie linéairement dans le temps. L'automobile parcourt donc une même distance à chaque intervalle de temps, sa vitesse est constante. C'est ce que nous montre le deuxième graphique. La vitesse de l'automobile est constante à 16 m/s et son accélération est nulle.

Segment 3

Le graphique de la position en fonction du temps prend de nouveau la forme d'une portion de parabole, mais courbée vers le bas cette fois-ci. L'automobile parcourt alors une distance de plus en plus petite à chaque intervalle de temps, sa vitesse décroît. Le graphique de la vitesse en fonction du temps nous montre que la vitesse diminue linéairement dans le segment 3, ce qui signifie que l'accélération est négative et constante. Le dernier graphique nous montre effectivement que l'accélération de l'automobile est constante à -2 m/s2.

Segment 4

Dans ce segment, la position de l'automobile est constante, elle reste la même. Sa vitesse et son accélération sont par conséquent nulles, ce que nous montre les deuxième et troisième graphiques.

Segment 5

La position du véhicule diminue dans le temps, ce qui signifie que sa vitesse est négative. De plus, la variation n'est pas linéaire, elle prend plutôt la forme d'une portion de parabole courbée vers le bas. La distance parcourue à chaque intervalle est donc de plus en plus grande. La vitesse de l'automobile augmente donc, en valeur absolue. Puisque la vitesse est négative, l'accélération doit aussi l'être pour obtenir la variation de position observée. Le graphique de la vitesse en fonction du temps nous montre que la vitesse varie linéairement dans ce segment, l'accélération est donc constante. Le dernier graphique nous montre que l'accélération est effectivement constante à -2 m/s2.

Segment 6

Pour ce sixième segment, la position de l'automobile continue à diminuer, mais linéairement cette fois. La vitesse est donc encore négative, mais constante, ce que nous montre le second graphique. L'automobile se déplace, pour ce segment, à une vitesse constante de -20 m/s. Le troisième graphique nous montre que l'accélération est bel et bien nulle.

Segment 7

Dans ce court segment, la position de l'automobile continue de diminuer, mais à un taux de plus en plus petit. La grandeur de la vitesse diminue donc, ce qu'on constate au deuxième graphique. La vitesse de l'automobile passe de -20 m/s à 0 m/s, et ce, de façon linéaire dans le temps. L'accélération est donc constante. Comme le taux de variation de la vitesse en fonction du temps est positif, cela signifie que l'accélération est positive. En regardant le graphique de l'accélération en fonction du temps, on constante d'ailleurs que l'accélération est positive à 4 m/s2.

Segment 8

Pour ce dernier segment, l'automobile est immobile puisque sa position ne varie pas dans le temps. Sa vitesse et son accélération sont alors nulles, ce que confirment les deux derniers graphiques présentés.

Exploration
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